2009年07月02日

4色定理と7色定理

純粋数学にはまだまだ証明の出来ない未解決問題が多いのだが、もちろん数学の世界も日々前進していて、長年未解決だった問題がポツポツ解かれている。

そんな証明された問題の一つに、「4色定理」(あるいは4色問題)と呼ばれるものがある。これは、地図の塗りわけ問題として知られるもので、「二次元平面で隣接する異なる領域を塗り分けるには最低4色あれば良い」というものである。まぁ別に地図で無くてもいいのだけど、とにかく「どんな図形でも4色あれば塗り分け可能」ということなんですよ。

2dim_4-colors.jpg
適当な例として、↑の画像を作ってみたけど(ここでは境界線を目立つように書いたけど、本来は境界線は考えません)、これを3色で塗り分けられるかと言うと、それは不可能なわけで二次元平面状の塗りわけは最低4色は必要なわけです。

ところが、この塗りわけ問題は次元の異なる空間では性質が異なるため、3次元空間上の塗りわけは領域の取り方で無限色必要になる。その一方で、3次元球面の塗りわけは2次元平面と同じく4色で全てが事足りる。そして面白い事に、トーラス表面(ドーナツの表面)の塗り分けには最低7色必要になる。
torus_7-colors.jpg
↑が7色必要になる場合の実際のトーラス表面上の塗りわけなのだが、確かに何かの色を何かに置き換えてしまうと、全ての場合で同じ色が隣接してしまう事がわかるだろう。この事から、平面とトーラス表面では空間の性質が全く異なる事がわかる。


この問題が提唱されたのは1850年頃なんだけど、実はこれが100年以上も証明できないでいたんだな。4色定理の証明(1976年)は、数学の世界では史上初の「コンピュータを使った証明」であり、当時はいろいろと議論を巻き起こしたらしい。俺がこの話を聞いたのは、今から12年前の高校の数学の授業の時。その時は、4色定理なんてのは小学生でも理解できる話なので、「最近になってようやく証明されるほど難しい問題だったの?」と思ったのだけど、「当たり前」とか「経験則的には確かにそうだ」っていう事を証明するのはやはり難しいんだろうね。


しっかし、上記画像のトーラスの7色の塗り分け方を最初に考えた人は一体誰なんだろう?普通に考えたらこんな塗り方を思い付くのなんて、よっぽどの変態としか思えないんだが……。(笑)(おそらく思い付きでの発見じゃなくて、計算でこの塗り分け方を算出したのだろうけどね)




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posted by きらっち at 20:38| Comment(0) | TrackBack(0) | 科学
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