2009年10月22日

オイラーの公式

今日は、表題の通り「オイラーの公式」を紹介します。この公式は理工系の大学生でないと習わないのだけど、もしこの公式が発見されていなかったら、様々な分野でいろいろな技術が実現できなかったでしょう。(身の回りにあるもので言うと、「携帯電話」「MP3プレーヤー」「JPEG圧縮方式」等々。スケールの大きな物となると、「ロケットの打ち上げ」「人工衛星の軌道制御」が挙げられるでしょうか。)

euler-formula.jpg
さて、そのオイラーの公式だけど、↑の通りです。「はぁ?!」と思った人は多いでしょう。そう、高校の数学でe(自然対数)、i(複素数)、sin/cos(三角関数)は習っているけれど、「e^(ix)(eのix乗)が全然イメージできないぞ!」という方がほとんどだと思います。
ちなみにこのオイラーの公式は、特に「x = π」の時がよく知られていて、この時「e^(iπ) = -1」となる。右辺をべき乗しているにもかかわらず、左辺に負の数が出現するため、ますますわけのわからない公式なんですよね。(笑)
今日は、このオイラーの等式をマクローリン展開を使って導出するところまでを説明します。


maclaurin.jpg
まずはマクローリン展開についてだけど、これは「ある連続な関数f(x)を、xの多項式で近似する」というものである。とりあえず、文章だけじゃよくわからないので、マクローリン展開の公式その物を出すと、↑の通り。式そのものの理解は非常に難しいのだが、マクローリン展開の直感的な意味は、
1.nが小さいと、x=0近辺は近似できるが、x=0から離れるにつれて近似精度が悪くなる。
2.nが大きくなるにつれて、x=0から離れている場所の近似精度が上がる。
3.n→∞の時に、マクローリン展開した右辺がf(x)と一致する
というところでしょうか。

maclaurin_exsample.jpg
ちなみに↑の画像は、例としてf(x)=cos(x)という関数を、n=2,6,10としてマクローリン展開した例です。nが大きい程、cos(x)と一致する事がよくわかるかと思います。


さて、それでは次にそれぞれ「e^(ix)」「isin(x)」「cos(x)」にマクローリン展開をかけてみましょう。実は、この3つに非常に面白い関係が導き出せるのですが、それを↓の画像に示します。
euler-formula_qed.jpg

そうなんです。「isin(x)」「cos(x)」をマクローリン展開した物の和が、「e^(ix)」をマクローリン展開した物と一致するわけですよ。(ここでは、「isin(x)」をマクローリン展開した項を青色、「cos(x)」をマクローリン展開した項を赤色にしているので、「e^(ix)」をマクローリン展開した項との対応が容易に理解できると思います。)
このオイラーの公式は、「指数関数」と「三角関数」が「複素数」を介して一本の公式でつながっているわけで、数学的には非常に重要な公式なのです。


さて、この「オイラーの公式」は、あまりに基礎的かつアカデミックな話なので、これ以上の説明はしないけど、この「オイラーの公式」から派生したもので、「フーリエ変換」という数学分野がある。「フーリエ変換」を使う応用例として、「音声/音楽/画像/映像処理」とか「通信処理」とか「ロボット制御」等があるんだけど、次回(来月くらい?)はこの「フーリエ変換」の基礎について説明しようと思います。



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posted by きらっち at 23:48| Comment(5) | TrackBack(1) | 科学
この記事へのコメント
はじめまして。
ブログ村から訪問させていただきました。
e^(iπ) = -1
というのは、昔読んだ本で存在を知って、『博士が愛した数式』でも見て、「面白い数式だなぁ」と興味を持っていたんですが、
「大学での数学」を知らない私でも、なんとなく“分かったような気”になりました。ありがとうございます。
Posted by yama_hiro at 2009年10月23日 22:57
(訂正)『博士が愛した数式』→『博士の愛した数式』でした。失礼しました。
Posted by yama_hiro at 2009年10月23日 23:01
>yama_hiroさん
どうもコメントの方、ありがとうございます。今、読み返してみたらオイラーの公式の導出過程(最後の画像)に間違いがあるのに気づきました。早々に修正いたします。
いずれにしても、最初にこの公式を発見した人は、何をどのように考えてこの公式を導出したんでしょうね?(笑)
Posted by きらっち at 2009年10月24日 00:04
初めまして。きらっちさんのブログを毎日拝見しています。
このブログは経済や金融関係の話が多いですが、きらっちさんの専門はむしろ数学方面なのではないですか?経済や金融に関する指摘もするどいと思いますが、きらっちさんの書く数学や物理の話は、一朝一夕で勉強した人の物とは思えません。
Posted by ブルーレイン at 2009年10月26日 20:00
ええ、大学時代は経済なんて何も知らなかったですよ。(笑)
大学時代の専攻は情報関係だったので、まさに次回やろうとしている「フーリエ変換」とか、「情報理論」みたいな数学分野が専門でした。ちなみに、たまにエントリーに出てくる「物理」「生物」関係の話は、専門外になります。
Posted by きらっち at 2009年10月26日 22:54
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