2010年01月01日

自然数の二乗和の公式を導出

皆様あけましておめでとうございます。今年もよろしくお願いします。


という事で、雪がひどくて車で帰省出来ないため、今回は実家に帰省せず友達と年越しでした。
さて、年越しそばを食べてから友達との話の中で「そういえば、自然数の二乗和の公式ってどうやって導出するんだっけ?」という話題になり、午前5時まで二人で二乗和の公式についていろいろ考えていました。(「新年早々に何やってるんだか」という話ですが……)

summation_formula.jpg
↑のように、高校数学では「1 + 2 + 3 + …… + n」という単純な一乗和の総和と、「1^2 + 2^2 + 3^2 + …… + n^2」という二乗和の総和の公式を習います。
summation_formula2.jpg
一乗和については、↑のやり方で公式はすぐに導出できるのですが、二乗和についてはまったく導出方法を覚えていなかったために、自分でいろいろと考えた結果、以下のやり方を思いつきました。まずは、具体的に「5」までの二乗和について考えてみると、
summation_formula3.jpg
↑のように、二乗和の式を書き換えたものを3倍することによって、上手い具合に全ての項が「11」になる事を利用して、答えをすぐに出せそうです。

summation_formula4.jpg
これを一般的に考えて、「n」までの二乗和の時も同様に式を書き換えて3倍すると、「2n+1」が「n(n+1)/2」項分だけ出てくるので、ここに1/3をかければ、二乗和の公式を導出できます。

ところが、先ほど二乗和の公式をネットで調べてたのですが、俺のやり方で二乗和の公式を説明しているサイトが見つからないので、「ひょっとして、このやり方はオリジナルの導出方法なんじゃないの?」と思ったので、今日のエントリーにしてみました。誰か詳しい人がいたら教えてください。



今日のエントリーで、「なるほど」「ふむふむ」「面白い」などと思ってくれた方で、一票を頂ける方は是非ともお願いします。↓
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posted by きらっち at 16:03| Comment(11) | TrackBack(0) | 科学
この記事へのコメント
初めまして。二乗総和の公式を、このように求めるやり方は初めて見ましたが、この方法は非常に直感的でわかりやすくて良いと思います。
今後、自分の授業で使わせてもらうかもしれません。ありがとうございます。
Posted by 塾講師 at 2010年01月01日 21:20
>塾講師さん
Σの式を変形させて導く方法もあるのですが、このやり方はビジュアル的にわかりやすい方法かなと思っています。どうもありがとうございます。
Posted by きらっち at 2010年01月02日 18:05
はじめまして
平方の和の公式の導出を探してここに辿りつきました

方法自体は
http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/index.htm
こちらのサイトで一度見ていましたが
このコーナーの備忘録というタイトルの通り解説が少なめだったので理解しきれていませんでした。

ここに来てやっと意味を把握することができました
ありがとうございます。
Posted by うけ at 2010年02月03日 16:55
リンク先がトップページになってましたね、ごめんなさい
http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/sum/sum.htm
こちらが正しいアドレスでした。
Posted by うけ at 2010年02月03日 17:09
>うけさん
どうもありがとうございます。そっか、すでに説明されているサイトがあったんですね。なるほど。
本エントリーでも、何かご参考にしていただけたら幸いです。
Posted by きらっち at 2010年02月04日 18:22
カッコいい!興味をそそりますね(^m^)
Posted by シャネル バッグ at 2013年04月15日 21:17
こんにちは、またブログ覗かせていただきました。また、遊びに来ま〜す。よろしくお願いします
Posted by ヴィトン コピー at 2013年07月02日 01:48
匿名なのに、私には誰だか分かる・・・(^_^;)ありがとう。。。
Posted by ミュウミュウ バッグ at 2013年07月07日 00:12
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